Polinomios biortogonales y sus generalizaciones: una perspectiva desde los sistemas integrables

La conexión existente entre los polinomios ortogonales y otras ramas de la matemática, la física o la ingeniería es verdaderamente asombrosa. Además, no hay mejor prueba de la utilidad de estos que el propio crecimiento, avance perpetuo y generalización en diversas direcciones de lo que se entendía por polinomio ortogonal en los albores de la teoría. Conforme el concepto se fue generalizando, también fueron evolucionando las técnicas para su estudio, algunas de estas claramente influenciadas por aquellas disciplinas matemáticas con las que iban surgiendo conexiones. La perspectiva que esta tesis adopta frente a los polinomios ortogonales es un ejemplo de este tipo de influencias, compartiendo herramientas y entrelazandose con la teoría de los sistemas integrables. Una posición privilegiada en esta tesis la ocuparían las matrices de Gram semi in nitas; cada cual asociada a una forma sesquilineal adaptada al tipo de biortogonalidad en cuestión. A estas matrices se les impondrán una serie de condiciones cuyo objeto sería el de garantizar la existencia y unicidad de las secuencias biortogonales asociadas a las mismas. El siguiente paso consistiría en buscar simetrías de estas matrices de Gram. Existen dos razones por las que este esfuerzo resulta ventajoso. En primer lugar, cada simetría encontrada podría traducirse en propiedades de las secuencias biortogonales, por ejemplo: una estructura Hankel de la matriz es equivalente a gozar de la recurrencia a tres términos de los polinomios ortogonales; la simetría propia de las matrices asociadas a pesos clásicos (Hermite, Laguerre, Jacobi) implica la existencia del operador diferencial lineal de segundo orden de que los polinomios clásicos son solución; etc..

Multivariate Toda hierarchies and biorthogonal polynomials

A new multivariate Toda hierarchy of nonlinear partial differential equations adapted to multivariate biorthogonal polynomials is discussed. This integrable hierarchy is associated with non-standard multivariate biorthogonality. Wave and Baker functions, linear equations, Lax and Zakharov–Shabat equations, KP type equations, appropriate reductions, Darboux or linear spectral transformations, and bilinear equations involving linear spectral transformations are presented